уравнения с разделяющимися переменными.однородные уравнения пример

443,53 Kb.страница2/5Дата конвертации07.08.2012Размер443,53 Kb.Тип Смотрите также:   2       ^ 1.5. Уравнения в полных дифференциалах Уравнением в полных дифференциалах называется уравнение вида , левая часть которого есть полный дифференциал некоторой функции , т.е. . Переписав исходное уравнение в виде , заключим, что общий интеграл этого уравнения определяется формулой . Как известно, полный дифференциал функции выражается формулой . таким образом . Необходимое и достаточное условие того, что левая часть уравнения является полным дифференциалом некоторой функции, выражается равенством .PP Функция , входящая в формулу , находится интегрированием функций P(x,y) и Q(x,y) соответственно по x и y при этом вторая переменная считается величиной постоянной (соответственно y или x). Пример Проинтегрировать дифференциальное уравнение . Для данного уравнения . ^ Так как выполнено условие (#), то данное уравнение является уравнением в полных дифференциалах, следовательно, . ^ Интегрируя первое из этих уравнений ( y при этом считается постоянным), находим , где - функция подлежащая определению. Дифференцируя по y функцию U(x,y) = C и принимая во внимание значение , получаем , откуда . Подставив выражение для в равенство , найдем . В соответствии с формулой получаем или , где . ^ Итак, общий интеграл данного уравнения: Замечание. Это уравнение является также однородным и его можно проинтегрировать другим способом. Найти общее решение или общий интеграл уравнения с разделяющимися переменными Найти общее решение или общий интеграл однородного уравнения Найти общее решение или общий интеграл линейного дифференциального уравненияНайти общее решение или общий интеграл уравнения Бернулли Найти общее решение или общий интеграл уравнения в полных дифференциалах Лекция 2. Дифференциальные уравнения высших порядков ^ Дифференциальное уравнение n -го порядка имеет вид . В дальнейшем мы будем рассматривать уравнения, которые можно разрешить относительно высшей производной. Уравнение, разрешенное относительно высшей производной, можно записать так: . Наиболее простым такое дифференциальное уравнение оказывается тогда, когда оно имеет вид: y (n) = f(x) , где f(x) - заданная функция. Пример Рассмотрим дифференциальное уравнение . Из этого уравнения сразу видно, что , где C1 - произвольная постоянная. В свою очередь из последнего уравнения следует, что , где C^ 2 - произвольная постоянная, никак не связанная с постоянной C1 . Найденное решение зависит от двух произвольных постоянных, при этом исходное дифференциальное уравнение было уравнением второго порядка. Такое решение называется общим решением этого уравнения. ^ Общим решением дифференциального уравнения n -го порядка называется функция , существенно зависящая от n произвольных постоянных и обращающая данное уравнение в тождество при любых значениях этих постоянных. Решения, получа

Лекция 1 - страница 2